有哪些不满足乘法交换律的数学或物理量
在数学上，矩阵运算不满足乘法交换律。物理表现形式，如向量的叉积、矩阵的直积、非交换算子、非阿贝尔规范的对称群、非交换群、希尔伯特空间中的所有算子运算等等，它们被应用于不同的领域有是不同的应用程序。
不满足乘法交换律的物理量（矩阵）意味着计算是有方向的、顺序的，即符合物理本身的定律。
在量子力学中，不变性是基础，换句话说，当时量子力学诞生的方式是将实数转换为矩阵，将积分转换为求和，而量子场论（正常量子化）则是将傅里叶展开系数转换为矩阵引发的20世纪物理学的革命。
分数运算定律是什么?
加法：分母变为最小公倍数，分子相加，然后进行约减。
减法：与加法一样，分母变为最小公倍数，分子相减
乘法：分子分子相乘，分母乘以分母，然后除以结果
除法：乘以除以除数的倒数，然后执行乘法运算
并矢是什么?如何运算?
Namiya：物理学中的懒惰技术
在电动力学的世界里，一种工具悄然出现，它不仅满足了理论简单性的需求，而且巧妙地绕过了复杂的数学技术。
尽管它在实际应用中经常出现，但似乎还没有得到系统的定义。
让我们以一种默契但直观的方式来研究一下联盟运营商的运作规则。
首先，让我们了解平行箭头背后的数学原理。
它实际上是一个张量积，或者说向量的直积，本质上是一个矩阵运算。
当我们看到两个向量排列在一起时，那个简单的符号与其说是装饰品，不如说代表了矩阵乘法的规律，就像两个向量的内积一样，简单明了。
叉积，这种在三维和七维中的特定运算，比平行向量的直接形式更专业，但请记住，视图是您的导航之光。
在矩阵运算中，组织结构也有约定的规则。
例如，矩阵下标通常遵循主序，1在左下角，2在右上角。
该约定不仅适用于平行向量，还适用于其他概念，例如雅可比行列式。
了解这个约定可以帮助我们避免计算中的混乱。
向量运算的直观规则
向量并的存在是一个更简单的符号表达式，就像一个简单的公式。
背后的数学基础是矩阵乘法，例如：
但为了保证精度，我们通常建议使用分量计算，如(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)，这样更符合数学严谨的精神。
好提示：避免警告
对于新手来说，矩阵运算有时会因为忽略基本概念而导致混乱。
例如，在处理某些矩阵乘法时，需要注意的是，每个分量（例如基向量）的单位不能被忽略。
就像这个例子：
第二层推导源于对基向量和单位的考虑。
在实际计算中，我通常会忽略这些细节，但了解它们的存在非常重要。
总的来说，虽然看起来是一个简单的并列符号，但其背后的矩阵运算规则和技巧却需要我们仔细的理解和练习。
只有这样，我们才能轻松探索电动力学，享受平行箭头的便利和高效。
但当你掌握了球面和微分几何的理论后，那些复杂的概念就会突然变得清晰起来。
群论的基本概念
群论是数学中描述自然界对称性的主要工具，其概念在19世纪数学发展史上发挥着重要作用。本文将逐步深入介绍群论的基本概念和性质。
A群群的基本概念是集合加二元运算，满足闭包、结合性、单位元存在性、逆元存在性四个公理。
闭包意味着集合中任意两个元素的结果仍在集合内。
结合律规定，组合运算不会改变结果。
单位元素是集合中唯一与任何其他元素组合时保持不变的元素。
逆元是指集合中的每个元素都有对应的元素，它们组合的结果就是单位元。
像G1={e}这样的简单例子是最简单的平凡群，而G2={e,a}是最简单的非平凡群，a^2=e。
在循环群G3={e,a,b}中，a和b的乘积是单位元并且满足特定关系，使得a^2=b,b^2=a,a^3=e。
类型称为循环群。
定义和性质如果一个群的元素在运算时满足交换规则（ab=ba），则称为阿贝尔群。
一组有限元的阶数由组中元素的数量定义。
元素a的阶数是满足a^n=e的最小正整数n。
实数集合在加法运算下形成加法群，非零实数集合在乘法运算下形成乘法群，n×n非奇异矩阵集合在矩阵乘法运算下形成矩阵群。
手术。
最简单的子群和重排定理非交换群是6阶群，可以通过两种方式构造：循环群和非交换群，例如涉及对称旋转操作的D3群。
6阶群S3由定义六个群元素的数字{1,2,3}的排列组成。
当群的子集在相同的运算下形成群时，称为子群。
所有群的子群必须包括只有一个单位元的子群G1和整个群G。
到一个真正的子群，例如G42或S3的子群。
重排定理表明，对于群G中的任意元素g，gG=G=gG，即任意排列后能组成群的元素的集合。
共轭集和余群元素可分为共轭集和余群。
共轭集包含满足某些关系的群元素。
例如，G中存在元素g∈G，使得gi=gggjg^(-1)。
陪集是在群作用下的一组子集。
例如，H1={e,a}的左陪集是bH1。
陪集相似性定理指出子集的两个左陪集要么相同，要么完全不同。
拉格朗日定理指出，有限群的阶必须是子集阶的整数倍。
不变子群定义为满足H=gHg^(-1)并且包含群G中的完整共轭集的子群。
同构和同构保留乘法规则的从群G到群G'的映射称为同构，一对一的映射称为同构。
例如，G与{e}同构，这是G62群的同构映射的一个示例。
不变子群同构定理指出，如果存在同构映射f:G→G′，则核心集H是不变子群，商群G/H同构于群G′。
凯莱定理指出任何n阶群都同构于子群Sn。
直积群表示通过较小的群相乘而获得的群结构。
简而言之，群论提供了系统地描述同构的数学工具。
其基本概念包括群、阿贝尔群、有限群阶、循环群、子群、共轭集、陪集、不变子群和同构等。
通过这些概念，我们可以深入了解群的结构和性质及其在数学和物理各个领域的应用。
